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有限元方法是科学与工程计算领域最为成熟与有效的数值解法之一，广泛应用于军事国防、航空航天、土木建筑等诸多领域。20世纪中叶，欧洲、美国与中国的学者各自发展出了有限元方法的不同技术与理论路径。通过聚焦中外有限元方法的形成问题，以变分原理与剖分逼近为主线阐述有限元方法的诞生历程，重点对柯朗、克劳夫与冯康的工作进行了阐述与对比研究，剖析了他们在实践背景、学术路径与创新要点上的异同，以期更好地理解有限元方法与明晰中国数学家做出的创新贡献。
Abstract：The finite element method(FEM) is one of the most mature and effective numerical techniques in the field of scientific and engineering computation, widely applied in military and national defense, aerospace, civil engineering, and many other areas. In the mid-20th century, scholars from Europe, the United States, and China successively and independently developed the finite element method. Focusing on the invention and creation of the finite element method both in China and in the West, this paper takes the variational principle and partitioning approximation as the main framework to elaborate on the birth of the finite element method. It particularly conducts a comparative study of the work by Richard Courant, Ray Clough and Feng Kang, clarifying the similarities and differences in their practical backgrounds, academic approaches, and key innovations. The aim is to deepen our understanding of the finite element method and to clarify the innovative contributions made by Chinese mathematicians.
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(1)然有关名称的归属仍有争论。例如莱萨(A.W.Leissa)仔细对比了瑞利与里兹的方法,指出瑞利尽管在一些问题上用到了极小化的想法,但却不是后来里兹的直接方法,因此瑞利—里兹方法应该纠正为里兹法(参见[27])。而伊兰科(S.Ilanko)则认为瑞利首先通过极小化关于待定参数的频率表达式来给出基本的自然频率的估计,里兹则展示了如何更加优雅地极小化,使其更加方便并一般化(参见[28])。
(2)不论是瑞利-里兹法还是里兹-伽辽金法,其中都有里兹,因此除引用内容外,本文将简称为里兹法。
(3)文中加粗的部分是柯朗在原文中专门标记的。
(4)特纳1936 年获得博尔州立师范学院数学和物理学士学位,1937年获得芝加哥大学硕士学位,之后在田纳西大学与威斯康星大学密尔沃基分校担任数学老师(参见[36],pp.1071—1072)。
(5)展弦比是指机翼的翼展(从一端到另一端的长度)与平均弦长(机翼前缘到后缘的平均宽度)的比值。高展弦比表明机翼比较长且窄,低展弦比则表明机翼比较短且宽。
(6)当时全球的主要飞机设计公司都已经配备了非常先进的计算机。通过法尔肯海默(Falkenheimer)和兰格福斯(Langefors)的工作,工程师初步实现了结构分析的矩阵化,以方便使用计算机以及计算的标准化和简化。
(7)IBM 701是IBM开发的电子计算机,有4096个单元存储单元。1959年伯克利又安装了一台IBM 704,它有32768个存储单元,运算速度较1BM 701快了约100倍。
(8)103机与104机皆仿制自苏联,存储单元分别为1024与2048,运算速度分别为1800次/秒与10000次/秒,不及当时欧美使用的IBM 701与IBM 704。
(9)这篇文章发表于1962年第11期的《电子计算机动态》(页1—20),中译名为“论数学物理中的偏差分方程”。
(10)wij在某一点Pij的值为1,其余点为0,因此是n个线性无关的函数。
(11)该文是受三室“理论联系实际”的要求与领导的意见合并而成的。黄鸿慈的原文讨论的是泊松方程的三类边值问题及弹性力学的位移方程,后发表时只将位移方程部分进行了合并([23],页39—41)。
(12)当时美国数学界为了解中国数学的发展,会翻译中国主要的数学期刊《数学学报》《中国科学》等,但《应用数学与计算数学》由于新创的缘故而不在翻译之列。
(13)奥登是计算力学家,巴布斯卡、拉克斯与特列菲森是数学家,其中奥登、巴布斯卡与特列菲森是美国工程院院士,拉克斯是美国科学院院士,沃尔夫奖与阿贝尔奖得主。他们的具体评价参见[22]。
基本信息:
中图分类号:O241.82
引用信息:
[1]王涛.有限元方法的发明与创造[J].中国科技史杂志,2026,47(02):194-210.
基金信息:
中国科学院战略研究与决策支持系统自然科学史专门项目(项目编号:E4291J06ZY);中国科学院青年创新促进会研究项目(项目编号:2021148); 国家自然科学基金资助项目(项目编号:12171137)
2026-06-15
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